.RU

Рабочая программа по высшей математике для студентов медико- биологического факультета по специальности медицинская кибернетика


ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФЕДЕРАЛЬНОГО АГЕНТСТВА ПО ЗДРАВООХРАНЕНИЮ И СОЦИАЛЬНОМУ РАЗВИТИЮ»


«УТВЕРЖДАЮ»

Ректор СибГМУ

академик РАМН

_______________

В.В. Новицкий

«___»________2006 г.


РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по высшей математике для студентов

медико- биологического факультета

по специальности медицинская кибернетика


Обсуждена на заседании ученого совета медико-биологического факультета

«___»________2006 г.

Декан медико-биологического факультета

профессор _______________

С. И. Карась


^ ТОМСК − 2006


ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

^ ФЕДЕРАЛЬНОГО АГЕНТСТВА ПО ЗДРАВООХРАНЕНИЮ И СОЦИАЛЬНОМУ РАЗВИТИЮ»



«СОГЛАСОВАНО»

Декан медико-биологического факультета

профессор ________________

С.И. Карась

«УТВЕРЖДАЮ»

Проректор по учебной работе

профессор ________________

А.И. Венгеровский



Программа разработана на кафедре высшей математики медико-биологического факультета Сибирского государственного медицинского университета.


Программу составили:


опираясь на государственный стандарт сотрудники кафедры высшей математики СГМУ: профессор В.В. Свищенко, доценты Л.А. Филипенко, И.А. Хохлов, В.И. Корюкин


Программа прошла апробацию в учебном процессе медико–биологического факультета в течение 1999-2005 учебных годов.


Программа утверждена на заседании методической комиссии медико–биологического факультета СибГМУ ____________________


Рецензент:


Заведующий кафедрой высшей математики Томского университета систем управления и радиоэлектроники

Профессор Л.И. Магазинников


Программа утверждена на учебно–методическом заседании кафедры высшей математики МБФ СибГМУ, протокол № 5 от 10 мая 2006 г. .


1. ВВЕДЕНИЕ


В настоящее время объём и содержание курса высшей математики в различных вузах различны и определяются конкретными учебными планами. Однако образовательный стандарт должен быть обеспечен некоторым минимальным уровнем знаний студентов, который определён перечнем экзаменационных вопросов, рекомендуемых настоящей программой. В различных вузах возможно включение в рабочие программы отдельных тем или разделов математики, актуальных для специфики конкретной специальности либо научного направления. Вузам также предоставляется возможность изменения последовательности изложения учебного материала. Специфика различных специальностей, для которых разработана настоящая программа, учитывается при подборе лекционного материала, в тематике задач, решаемых на практических занятиях и контрольных работах, и при выборе индивидуальных заданий.


^ 2. ОБЪЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


В биологии за время её существования накопилось множество качественных утверждений и положений, полученных без использования высшей математики. Таковы, например, основные положения формальной генетики. Они позволяли систематизировать и упорядочивать экспериментальный материал, не прибегая к математическому аппарату. Применение математики при этом вовсе не исключалось. Более того, те же положения, сформулированные на языке современной математики, принимали более чёткую и содержательную форму; возникали новые аспекты, ускользавшие от внимания.

Современная ситуация существенно изменилась. Биология, химия, физика переплетаются столь тесно, что любое биологическое утверждение (как новое, так и уже известное) нуждается в сопоставлении с законами физики и химии. Более того, увеличение числа количественных и качественных показателей, изучаемых во всех областях медицины и биологии, привлечение экологических характеристик для диагностики, анализа эффективности лечения и профилактики заболеваний требует обязательного привлечения математического моделирования исследуемых процессов, а необходимый системный анализ этиологии и патогенеза заболеваний требует навыков формализации специальных знаний на языке математических понятий.

При этом, для медицинской кибернетики математика выступает не только как метод количественного расчета, но и как метод качественного мышления. Подтверждением тому является следующее.

I. Для специалиста в области медицинской кибернетики понятие информации является одним из важнейших. Действительно, изучение свойств и механизмов функционирования любой биосистемы, управление происходящими в ней процессами базируется на получении, хранении и обработке сигналов. Причём при анализе информационных свойств часто приходится абстрагироваться от конкретного предмета исследования: химических свойств изучаемых лекарственных препаратов, конкретных способов представления сигнала, выявления конкретных патологий и др. и использовать формализованные подходы. Как следствие, в основе большинства методов, используемых в медицинской кибернетике, лежат современные серьёзные математические методы, естественной основой которых является знание разделов высшей математики. Подтверждением этому является следующий разбор по аспектам применения:

1) Роль дискретного чрезвычайно велика при описании и изучении сложных систем. Описание дискретных структур требует знания линейной алгебры. Два из многих примеров:

а) при описании канала связи используется матрица условных вероятностей, так называемая канальная матрица источника сообщений или приёмника сообщений;

б) при распознавании образов объекты рассматриваются как вектор – столбец параметров.

2) Особенностью сложных систем является вероятностный характер их структуры и неопределённость внешних условий, в которых такие системы существуют и работают. Для отражения этих особенностей в моделях необходимо знание теории вероятностей и математической статистики, которые позволят овладеть методами определения параметров моделей, основанными на регрессивном анализе и планировании эксперимента.

3) Основа анализа и преобразования сигнала — представление сигнала в виде комбинации простых составляющих. Математической базой для данного изучения является теория рядов Фурье.

4) При изучении предмета “Медицинская электроника” необходимо знание раздела функций комплексного переменного.

Существующие компьютерные пакеты математических методов требуют, тем не менее, от специалиста кибернетика умения работать на формализованном языке различных разделов математики. Следовательно, современный врач, специализирующийся в областях медицинской кибернетики должен не только самостоятельно владеть математическими методами, но знать их цели, постановку задач и область применимости конкретных методов для того, чтобы грамотно сформулировать цель исследования, определить задачи и методы решения.


Всё вышеизложенное подтверждает необходимость иметь для квалифицированного специалиста общую математическую культуру современного уровня, которая может быть приобретена при изучении таких разделов курса высшей математики как линейная алгебра, векторная алгебра и аналитическая геометрия, математический анализ. Полученные знания, применяемые в специальных разделах высшей математики, таких как дифференциальные уравнения, ряды, функции комплексного переменного, теория вероятностей и математическая статистика, позволят будущему специалисту использовать уже свои приёмы и принципы, отражающие специфику биологического объекта.


^ 3. ТАБЛИЦА ПО СЕМЕСТРАМ


Специальность “медицинская кибернетика”








В том числе

Форма

Семестр

Всего часов

Лекции

практ. занятия

контроля

I

80

40

40

зачет

II

85

34

51

экзамен

III

54

18

36

зачет

IV

85

34

51

зачет

V

108

36

72

экзамен



^ 4. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»


1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА


Введение в линейную алгебру. Матрицы, действия над ними (линейные операции, умножение, транспонирование). Определитель матрицы, его свойства, способы вычисления определителей 2, 3-го порядков. Сведение определителя n – порядка к определителю (n - 1) – порядка, понятие минора и алгебраического дополнения элемента матрицы. Обратная матрица (понятие союзной, невырожденной матрицы, доказательство теоремы об обратной матрице). Решение матричных уравнений. Матричная запись систем линейных уравнений. Определение решения системы уравнения. Матричный метод решения системы и метод Крамера. Элементарные преобразования матриц, понятие эквивалентных систем уравнений, их решение методом исключения неизвестных.

Решение произвольных систем уравнений, включая однородные, с помощью преобразования расширенной матрицы к трапецивидному виду и выделением базисного минора. Разделение неизвестных на базисные и свободные, запись общего решения системы. Собственные значения и собственные векторы матрицы.


2. ^ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Элементы векторной алгебры. Определение вектора, основные понятия. Линейные операции над векторами (сумма, разность, умножение на число). Разложение вектора по базису на плоскости и в пространстве, координаты вектора и линейные операции над векторами в координатной форме. Декартова система координат. Представление вектора в декартовой системе координат. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Векторное и смешанное произведение векторов, их свойства и приложения. Уравнение прямой на плоскости, его различные виды (общее, каноническое, через две известные точки, в отрезках, с угловым коэффициентом). Взаимное расположение прямых. Уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей.

Кривые второго порядка, определение, каноническое уравнение. Исследование общего уравнения кривых второго порядка и приведение его к каноническому виду (случай параллельного переноса системы координат). Поверхности второго порядка, включая цилиндрические. Канонические уравнения и их зависимость от расположения поверхности.


3. ^ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА


3.1. Введение в математический анализ


Предел переменной величины (понятие переменной величины, область определения, свойства абсолютной величины действительного числа, определение предела на языке «e», свойства пределов, вытекающие из определения), бесконечно малые и бесконечно большие величины, их связь. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших. Понятие неопределенности при вычислении предела. Арифметические действия над пределами.

Определение функции. Понятие сложной функции. Классификация элементарных функций (целые рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, трансцендентные). Определение предела функции. Бесконечно малая и большая функции. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность функции на множестве. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке.


3.2. ^ Дифференциальное исчисление функции одного переменного


Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной. Дифференцируемость функций. Основные правила дифференцирования. Производные сложной функции, обратной функции, вывод таблицы производных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование, дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

Понятие дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Производные высших порядков различных функций (явных, неявных, параметрически заданных). Дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя. Исследование графиков функций методами анализа. Интервалы монотонного изменения функции. Экстремум функции. Исследование функции на экстремум с помощью производной второго порядка. Участки выпуклости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика функции.


3.3. ^ Интегральное исчисление функции одного переменного


Неопределенный интеграл (понятие первообразной, неопределенного интеграла, его свойства, таблица неопределенных интегралов). Метод интегрирования, основанный на инвариантности формы неопределенного интеграла (метод замены переменной). Интегрирование по частям. Интегрирование дробно-рациональных выражений (интегрирование дробей простейшего вида, понятие неправильной дроби, разложение правильной дроби на сумму простейших дробей).

Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование рациональных выражений и
выражений, зависящих от показательных функций. Определенный интеграл (определение на основе геометрической задачи о площади криволинейной трапеции), его свойства. Оценки определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

Геометрические и физические задачи с использованием определенного интеграла (вычисление площади плоской фигуры, вычисление работы переменной силы). Несобственные интегралы (от неограниченных функций, с бесконечными пределами).


3.4. ^ Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных


Функции нескольких переменных (определение, область определения). Предел функции нескольких переменных, способы вычисления. Непрерывность функции. Понятие частных приращений функции. Определение частных производных, их геометрический смысл. Полный дифференциал как сумма частных дифференциалов, приложение полного дифференциала.

Производная сложной функции. Производные высших порядков (обозначение, понятийный смысл, доказательство теоремы о смешанных производных). Дифференциалы высших порядков. Формулы для дифференциалов 2, 3-го порядков. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума. Достаточные условия существования экстремума для функции 2-х переменных. Условия минимума, максимума функции. Метод наименьших квадратов на основе изложенного материала об экстремуме функции нескольких переменных. Производная функции по
направлению (вывод формулы). Понятие градиента, дивиргенции и ротора векторного поля.


3.5. ^ Интегральное исчисление функции нескольких переменных


Интегрирование функций двух переменных. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл, свойства. Вычисление двойного интеграла для прямоугольной и криволинейной областей. Понятие правильной области при вычислении двойного интеграла. Замена переменной в двойном интеграле. Приложение двойного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, физических величин: массы, центра масс, моментов инерции плоских пластин различных конфигураций.

Интегрирование функции трех переменных (определение тройного интеграла, его свойства как повторение свойств двойного интеграла). Способ вычисления тройного интеграла. Замена переменной в тройном интеграле. Переход к цилиндрической или сферической системе координат. Криволинейный интеграл по длине дуги. Свойства криволинейного интеграла, способ вычисления при различных вариантах задания кривой. Криволинейный интеграл по координатам. Задача о вычислении работы переменной силы по криволинейному участку пути. Вычисление криволинейного интеграла. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Грина.


4. ^ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


4.1. Общие понятия теории дифференциальных уравнений


Задачи приводящие к решению дифференциальных уравнений (ДУ). Общая методика решения задач на составление ДУ в форме производных и в дифференциальной форме. Понятие общего и частного решения ДУ n – порядка F(x,y,y¢,...,y(n)), задание системы начальных условий. Теоремы существования и единственности решения уравнения y¢ = f(x,y) — (дается смысл, применение, б/доказательства).


4.2. Дифференциальные уравнения I порядка, разрешенные относительно производной

Уравнение вида y¢ = f(x,y), его связь с дифференциальной формой
P(x, y)dx + Q(x,y)dy =0, доказательство существования общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными: y¢ = f(ax+by+c) . Однородные уравнения в дифференциальной форме и в форме производных, свойства однородных функций. Уравнения, приводящиеся к однородным, вида
y¢ = f() и однородные в обобщенном смысле, решаемые
заменой y = z(x). Линейные уравнения I порядка и приводящиеся к ним. Круг задач, приводящих к составлению линейных уравнений.

Метод Лагранжа, вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли. (Уравнения Риккати на УИРС). Уравнения в полных дифференциалах
(с доказательством теоремы о необходимых и достаточных условиях). Интегрирующий множитель, зависящий от одной переменной m(x), m(y) (с выводом). Использование свойств полных дифференциалов для сведения заменами уравнения I порядка к изученным типам. Логистическое уравнение в биохимии.


4.3. ^ Уравнения I порядка, не разрешенные относительно производной


Теорема о существовании и единственности решения уравнения F(x,y,y¢) (без доказательства). Особое решение уравнения F(x,y,y¢)= 0, способы нахождения, геометрический и физический смысл. Уравнения I порядка n – ной степени. Общий метод введения параметра. Частные случаи неполных ДУ:
y = f(x,y¢), x = f(y,y¢). Уравнения Лагранжа и Клеро.


4.4. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка


Общие положения, теорема о существовании и единственности решения для уравнения y(n) = f(x,y,y¢,...,y(n-1)), физический и геометрический смысл уравнения П порядка. Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка: уравнения вида y(n) = f(x), F(y, y¢, y¢¢, ..., y(n)) = 0, F(x,y(k),y(k+1),...,y(n))= 0, уравнения полного типа — однородные по переменным (y,y¢, y¢¢,...,y(n)) и однородные по всем переменным, понижение порядка способом сведения к полным производным.


4.5. ^ Общая теория линейных дифференциальных уравнений высшего порядка


Общие понятия, линейные однородные и неоднородные, постоянные и переменные коэффициенты, условия выполнения теоремы существования и единственности решения. ЛОДУ с произвольными коэффициентами, линейный дифференциальный оператор (его свойства), свойства частных решений ЛОДУ. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского и его свойства. Фундаментальная система решений.

Теорема (с доказательством) о структуре общего решения ЛОДУ. Метод Остроградского – Лиувилля для решения ЛОДУ II порядка, с переменными коэффициентами (на УИРС). ЛОДУ с постоянными коэффициентами: доказательство структуры решения в случае различных корней характеристического уравнения, без доказательства — структура общего решения в случае кратных и комплексных корней. ЛНОДУ с произвольными коэффициентами, структура общего решения, случай комбинированной правой части.

Доказательство теоремы о методе вариации постоянных ЛНОДУ с постоянными коэффициентами, метод неопределенных коэффициентов для правой части вида: f(x) = P(x)eax; f(x) = eax[P1(x)cos bx + P2(x)sin bx]. Уравнение Эйлера.


4.6. Понятие о системах дифференциальных уравнений I порядка


Общий вид системы, задачи, приводящие к составлению систем ДУ. Понятие нормальной системы как обобщения одного ДУ I порядка для одной неизвестной функции. Обобщение понятия решения как интегральной кривой в (n + 1) – мерном пространстве, система начальных условий. Механическая интерпретация нормальной системы для n = 3. Понятие динамической, автономной системы, фазовое пространство. Эквивалентность ДУ n – го порядка, разрешенного относительно старшей производной и системы n уравнений I порядка. Решение систем методом исключения неизвестных функций. Решение системы методом интегрируемых комбинаций (на примерах). Системы линейные, однородные: решение в случае различных корней соответствующего характеристического уравнения.


4.7. ^ Элементы теории качественного исследования дифференциальных уравнений и систем

Подход Пуанкаре — геометрическое поведение кривых — решений в соответствующем пространстве. Подход Ляпунова — поведение решений в окрестности состояния равновесия. Конкретные примеры медико – биологического содержания.


4.8. Математическое моделирование физико-химических и биологических процессов


Общие принципы математического моделирования. Место и роль ДУ в математических моделях, преимущество и недостатки.


5. ^ ТЕОРИЯ РЯДОВ


Числовой ряд. Определение сходимости числового ряда. Ряд геометрической прогрессии. Свойства числовых рядов. Признаки сходимости рядов на основе сравнения. Достаточные признаки сходимости числовых рядов
Даламбера, Коши. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница. Условная и абсолютная сходимость. Функциональные ряды, определение
области сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов, свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды, радиус сходимости. Теорема Абеля.

Свойства степенных рядов. Разложение функции в степенные ряды. Ряды Маклорена для некоторых функций. Применение рядов к приближенному вычислению значений элементарных функций, приближенному вычислению определенных интегралов. Ряды Фурье. Тригонометрический ряд и его свойства. Вычисление коэффициентов ряда Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2p. Ряд Фурье для функции с периодом 2L. Разложение в ряд Фурье периодических функций.


6. ^ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО


Комплексные числа. Операции сложения, умножения, возведения в степень, извлечения корня с использованием различных форм комплексного числа (алгебраической, тригонометрической). Показательная форма комплексного числа. Функции комплексного переменного (определение, различные виды функций: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции). Предел функции комплексного переменного.

Дифференцирование функции. Условие Коши – Римана. Определение аналитической функции в точке и области. Дифференцирование элементарных функций комплексного переменного. Интеграл от функции комплексного переменного, его свойства, вычисление.

7. ^ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


7.1. Понятие опыта, испытания, события


Классификация событий. Пространство событий и алгебра событий. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности события. Парадоксы Бертрана и понятие вероятностного пространства.


7.2. ^ Теоремы о вероятности суммы случайных событий

Условная вероятность. Статистическая зависимость и независимость событий. Теоремы о вероятности пересечения событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.


7.3. ^ Повторные независимые испытания (схема Бернулли)


Общие понятия и примеры повторных независимых испытаний. Схема испытаний Бернулли, вывод формулы Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в n испытаниях Бернулли. Предельные случаи в схеме Бернулли: локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, формула Пуассона. Полиномиальная схема испытаний. Производящая функция. Эквивалентность урновой схемы и схемы Бернулли при большом объеме выборки.


7.4. ^ Законы распределения случайных величин и их числовые
характеристики


Определение случайной величины. Понятие о законах распределения дискретной случайной величины, его табличное, графическое и аналитическое задание. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. Функция распределения и её свойства. Вероятность попадания скалярной случайной величины в интервал. Непрерывные случайные величины, плотность вероятности и её свойства. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства.

Дисперсия случайной величины и её свойства. Моменты распределения случайных величин, характеристика асимметрии и эксцесса. Числовые характеристики Д.С.В.: биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение. Числовые характеристики непрерывных распределений: равномерное распределение, показательное распределение, нормальное распределение, гамма-распределение. Нормальная случайная величина, интеграл вероятностей и применение функции Лапласа для вычисления вероятности попадания нормальной величины в любой интервал.


7.5. ^ Многомерные случайные величины и их характеристики


Понятие системы случайных величин. Законы распределения многомерной величины, зависимые и независимые случайные величины. Вероятность попадания многомерной величины в заданную область. Условные законы распределения и условие независимости случайных величин. Числовые характеристики системы случайных величин. Ковариация, понятие коррелированности и коэффициент корреляции двух случайных величин. Функция регрессии. Двумерное нормальное распределение.


7.6. ^ Функции случайных аргументов


Распределение функций одномерной случайной величины. Независимые случайные величины и функции от них. Распределение суммы независимых величин, интеграл свертки. Распределение c2. Самовоспроизводимость законов распределений, некоторые частные виды распределений.


7.7. ^ Предельные теоремы теории вероятностей


Массовые явления и законы больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Хинчина, практические условия выполнимости условий этих теорем. Теорема Бернулли, её практическое и теоретическое значение. Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова, её практические следствия.


8. ^ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА


8.1. Задачи и методы математической статистики. Выборочный метод


Задачи статистического описания и их характеристики, область применимости статистического описания. Характеристика основных типов эксперимента, их задач и соответствующих методов обработки данных. Основные понятия и принципы выборочного метода. Построение вариационных рядов. Статистическое распределение выборки и формы его представления. Эмпирическая функция распределения. Цели и задачи расчета статистических характеристик. Основные статистические характеристики, их свойства и методы расчета. Метод введения условных средних. Структурные характеристики и показатели вариации. Выборочная дисперсия и ее свойства. Понятие о внутригрупповой и межгрупповой дисперсии. Поправка Шеппарда. Эмпирические начальные и центральные моменты. Выборочная асимметрия и эксцесс.


8.2. ^ Теория статистических оценок неизвестных параметров распределений


Общая постановка задачи оценки параметров. Критерии качества статистических оценок. Несмещенность, состоятельность, эффективность. Теоремы о свойствах оценок выборочной средней и выборочной дисперсии, поправка Бесселя. Метод моментов получения точных оценок неизвестных параметров распределений. Метод максимального правдоподобия получения точечных оценок неизвестных параметров. Метод наименьших квадратов для оценки неизвестных параметров. Распределение средней арифметической в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение Стьюдента. Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение c2 – Пирсона. Постановка задачи интервального оценивания неизвестных параметров известных законов распределения. Построение интервальной оценки математического ожидания случайной величины по выборке из нормальной совокупности. Построение доверительного интервала для оценки генеральной дисперсии по выборке из нормальной совокупности. Оценка параметра P биномиального распределения по относительной частоте появления события.


8.3. ^ Проверка статистических гипотез в задачах сравнительного
эксперимента


Постановка задачи сравнительного эксперимента. Общие понятия в теории проверки гипотез. Общая характеристика проверки статистических гипотез о законах распределения. Постановка задачи о виде неизвестного закона распределения, понятие о критериях согласия. Проверка нормальности признака в задачах сравнительного эксперимента. Критерий асимметрии и эксцесса. c2 – критерий согласия Пирсона. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона. l – критерий Колмогорова.


8.4. ^ Проверка однородности генеральных дисперсий сравниваемых груп��


Сравнение двух генеральных дисперсий по независимым выборкам из нормальных совокупностей, критерий Фишера – Снедекора. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности. Сравнение нескольких генеральных дисперсий по независимым выборкам равного объема из нормальных совокупностей, критерий Кочрена. Сравнение нескольких генеральных дисперсий по независимым выборка различного объема из нормальных совокупностей, критерий Барлетта.


8.5. ^ Параметрические критерии проверки однородности средних в задачах сравнительного эксперимента


Общая постановка задачи проверки достоверности влияния фактора. Сравнение двух средних по независимым выборкам из нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями (большие объемы сравниваемых групп). Сравнение двух средних по малым независимым выборкам из нормальных совокупностей, дисперсии которых неизвестны, но равны. Критерий Стьюдента.

Метод исключения грубых ошибок наблюдений. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. Сравнение двух средних по зависимым выборкам малого объема из нормальных генеральных совокупностей. Сравнение наблюдаемой относительной частоты появления события в схеме испытаний Бернулли с гипотетической вероятностью P появления события в отдельном испытании. Оценка достоверности различия относительной частоты появления альтернативного признака в двух сериях наблюдений по результатам клинической биохимии.


8.6. ^ Непараметрические критерии достоверности различия двух
совокупностей в задачах сравнительного эксперимента


Понятие о непараметрических статистиках. Роль и сравнительная эффективность параметрических и непараметрических критериев (НПК) достоверности различий сравниваемых групп. Классификация и характеристика основных НПК. Непараметрические критерии достоверности различия двух зависимых совокупностей (максимум – критерий, Z – критерий знаков, T – критерий Вилкоксона. Непараметрические критерии достоверности различия двух независимых совокупностей: Колмогорова – Смирнова, U – критерий Манна – Уитни, X – критерий Ван-дер-Вардена, (W – критерий Вилкоксона — на УИРС ).


8.7. ^ Последовательный анализ в задачах сравнительного эксперимента


Общая характеристика схемы последовательного анализа. Построение последовательного критерия отношения правдоподобия, критерий Вальда. Двусторонний последовательный критерий Бернарда с линейными порогами. Преимущества организации последовательной схемы сравнительного эксперимента и условия применимости. Ряд медикобиологических задач, требующих применения последовательного анализа для доказательства достоверности однородности.


8.8. ^ Применение дисперсионного анализа в задачах сравнительного эксперимента


Общая постановка задачи дисперсионного анализа (ДА), его цель, идея и метод. Предпосылки применимости параметрического ДА. Однофакторный равномерный дисперсионный комплекс (ДК). Однофакторный неравномерный ДК. Дисперсионный анализ двухфакторного равномерного комплекса. Схема анализа многофакторных комплексов по результатам двухфакторного ДК. Дисперсионный анализ альтернативного комплекса в задачах проверки достоверности различия относительных частот появления признака в нескольких группах по уровню действующего фактора. Непараметрический дисперсионный анализ, критерий Краскала-Уоллиса.


8.9. ^ Корреляционный и регрессионный анализ в задачах прогнозирующего эксперимента


Функциональная, статистическая и корреляционная зависимость. Постановка задачи статистического прогноза. Последовательность этапов проведения корреляционного и регрессионного анализов, их цели и задачи. Проверка значимости коэффициента корреляции. Корреляционное отношение, как индикатор наличия корреляционной связи.

Метод наименьших квадратов для нахождения выборочных параметров уравнения регрессии. Выбор оптимальной форма парной связи по минимуму остаточной дисперсии. Проверка адекватности построенной регрессионной модели эмпирическим данным. Ошибка предсказания и доверительные интервалы оценки параметров линии регрессии.

Анализ “остатков” при построении регрессионной модели. Общие понятия множественного корреляционного анализа, уравнение линейной связи трех признаков.

5а. ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ


^ СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «БИОМЕДКИБЕРНЕТИКА»


1. РАЗДЕЛЫ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА», «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И


АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»




№№ тем Наименование тем и их содержание Часы

1


2


3

4

5

Введение в линейную алгебру. Матрицы, действия над ними (линейные операции, умножение, транспонирование).

Определитель матрицы, его свойства, способы вычисления определителей 2, 3-го порядков. Сведение определителя n – порядка к определителю (n – 1) – порядка, понятие минора и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Обратная матрица (понятие союзной, невырожденной матрицы, доказательство теоремы об обратной матрице). Решение матричных уравнений.

Матричная запись систем линейных уравнений. Определение решения системы уравнения. Матричный метод решения системы и метод Крамера. Элементарные преобразования матриц, понятие эквивалентных систем уравнений, их решение методом исключения неизвестных.

Решение произвольных систем уравнений, включая однородные, с помощью преобразования расширенной матрицы к трапецивидному виду и выделением базисного минора. Разделение неизвестных на базисные и свободные, запись общего решения системы. Собственные значения и собственные векторы матрицы.


1


2

1

4

4

6

7


8


9

10

Элементы векторной алгебры. Определение вектора, основные понятия. Линейные операции над векторами (сумма, разность, умножение на число). Разложение вектора по базису на плоскости и в пространстве, координаты вектора и линейные операции над векторами в координатной форме.

Декартова система координат. Представление вектора в декартовой системе. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Векторное и смешанное произведение векторов, их свойства и приложения.

Уравнение прямой на плоскости, его различные виды (общее, каноническое, через две известные точки, в отрезках, с угловым коэффициентом), и в пространстве . Взаимное расположение прямых.

Уравнение плоскости (вывод общего уравнения). Исследование общего уравнения плоскости. Взаимное расположение
плоскостей. Кривые второго порядка, определение, каноническое уравнение. Исследование общего уравнения кривых второго порядка



1


1


1

1







№№ тем Наименование тем и их содержание Часы



11

и приведение их к каноническому виду (случай параллельного переноса системы координат).

Поверхности второго порядка, включая цилиндрические. Канонические уравнения и их зависимость от расположения поверхности.


1

1


Всего часов: 19


2. ^ РАЗДЕЛЫ «ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА»

И «ТЕОРИЯ РЯДОВ»




№№ тем Наименование тем и их содержание Часы

1


2


3

4

5

6


7

8


9

Предел переменной величины (понятие переменной величины, область определения, свойства абсолютной величины действительного числа, определение предела на языке «e»-N, свойства пределов, вытекающие из определения), бесконечно малые и бесконечно большие величины, их связь. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших.

Возникновение неопределенности при вычислении предела. Арифметические действия над пределами. Раскрытие неопределенностей вида 0/0. ¥ / ¥ , ¥ – ¥. Примеры. Определение функции (перечисление всех сведений о функции, известных из школьного курса). Понятие сложной функции. Классификация элементарных функций (целые рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, трансцендентные). Определение предела функции на языке "e – d".

Бесконечно большая функция. Определение функции при х ® ¥. Примеры нахождения предела функции при раскрытии неопределенностей 0/0, 0 × ¥. Первый замечательный предел.

Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших. Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке(два определения).

Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность
функции на множестве. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной. Дифференцируемость функций. Основные правила дифференцирования. Производные сложной функции, обратной функции.

Таблица производных простейших элементарных функций (вывод).

Логарифмической дифференцирование, дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

Понятие дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Производные высших порядков различных функций (в том числе неявных, параметрически заданных).


2


2


1

1

4


1

3






№№ тем Наименование тем и их содержание Часы

10


11


12


13

14

15

16

17


18


19


20

Дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя и раскрытие неопределенностей вида 0/0, ¥ / ¥ , ¥ – ¥, 0 × ¥, 1¥ , 0 0.

Исследование функций методами анализа. Интервалы монотонного изменения функции. Экстремум функции. Теорема Ферма. Исследование функции на экстремум с помощью производной второго порядка. Участки выпуклости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.

Неопределенный интеграл (понятие первообразной, неопределенного интеграла, его свойства, таблица неопределенных интегралов).

Метод интегрирования, основанный на инвариантности формы неопределенного интеграла (метод замены переменной). Интегрирование по частям.

Интегрирование дробно – рациональных выражений (интегрирование дробей простого вида, понятие неправильной дроби, разложение правильной дроби на сумму простых дробей).

Интегрирование иррациональных выражений вида: а) R(x, xa, xb, ¼); б) R(x, (ax+b)a, (ax+b)b , ¼); в)

г) ; д) R(x,) и подстановки Эйлерра.

Интегрирование тригонометрических выражений: а) универсальная тригонометрическая подстановка; б) использование четности, нечетности функций R(sin x,cos x); в) sin m x cos n x, где m и n - четные (нечетные) целые положительные числа. Интегрирование показательных выражений вида R(e x).

Определенный интеграл (определение на основе геометрической задачи о площади криволинейной трапеции), его свойства. Оценки
определенного интеграла.

Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства (доказательство теоремы). Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Геометрические и физические задачи с использованием определенного интеграла (вычисление площади плоской фигуры, вычисление работы переменной силы).

Несобственные интегралы (от неограниченных функций и с бесконечными пределами).

Функции нескольких переменных (определение, область определения). Предел функции нескольких переменных, способы вычисления. Непрерывность функции. Понятие частных приращений функции. Определение частных производных, их геометрический смысл.


1


3


2

1

3

4

2

2


2


3

2






№№ тем Наименование тем и их содержание Часы

21

22


23


24

25

26

27

28


29

30


31

32

Полный дифференциал как сумма частных дифференциалов, приложение полного дифференциала. Производная сложной функции (вывод).

Производные высших порядков (обозначение, понятийный смысл, доказательство теоремы о смешанных производных).
Дифференциалы высших порядков. Формулы для дифференциалов
2, 3 порядков.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума. Достаточные условия существования экстремума для функции 2-х переменных. Условия минимума, максимума функции.

Метод наименьших квадратов на основе изложенного материала об экстремуме функции нескольких переменных.

Производная функции по направлению (вывод формулы). Понятие градиента функции, оператора Гамильтона, дивиргенции и ротора векторного поля.

Интегрирование функций двух переменных. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл, свойства. Вычисление двойного интеграла для прямоугольной и криволинейных областей.

Понятие правильной области при вычислении двойного интеграла. Примеры. Замена переменной в двойном интеграле.

Приложение двойного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, физических величин: массы, центра масс, моментов инерции плоских пластин различных конфигураций.

Интегрирование функции трех переменных (определение тройного интеграла, его свойства как повторение свойств двойного интеграла). Способ вычисления тройного интеграла.

Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрической или сферической системе координат.

Криволинейный интеграл по длине дуги. Свойства криволинейного интеграла, способ вычисления при различных вариантах задания кривой.

Криволинейный интеграл по координатам. Задача о вычислении работы переменной силы по криволинейному участку пути. Вычисление криволинейного интеграла. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Грина.

Ряды. Числовой ряд. Определение сходимости числового ряда. Ряд геометрической прогрессии. Свойства числовых рядов. Признаки сходимости рядов на основе сравнения.

Достаточные признаки сходимости числовых рядов Даламбера,
Коши. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.



2


2


1

1

3

1

2


1

2


1

1







№№ тем Наименование тем и их содержание Часы


33

34


35


Условная и абсолютная сходимость.

Функциональные ряды, определение области сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов, свойства равномерно сходящихся рядов.

Степенные ряды, радиус сходимости. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Разложение функции в степенные ряды. Ряды Маклорена для некоторых функций. Применение рядов к приближенному вычислению значений элементарных функций, приближенному вычислению определенных интегралов, решению дифференциальных уравнений.

Ряды Фурье. Тригонометрический ряд и его свойства. Вычисление коэффициентов ряда Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2p. Условия Дирихле для разложения функции в ряд Фурье. Ряд Фурье для функции с периодом 2L. Разложение в ряд Фурье периодических функций.

1

1


2

2


Всего часов: 64


3.

programma-vstupitelnogo-ekzamena-po-specialnoj-discipline-na-osnovnuyu-obrazovatelnuyu-programmu-poslevuzovskogo-professionalnogo-obrazovaniya-aspirantura-po-specialnosti.html
programma-vstupitelnogo-ekzamena-po-specialnosti-01-01-02-differencialnie-uravneniya-dinamicheskie-sistemi-i-optimalnoe-upravlenie.html
programma-vstupitelnogo-ekzamena-po-specialnosti-05-12-04-radiotehnika-v-tom-chisle-sistemi-i-ustrojstva-radiolokacii-radionavigacii-i-televideniya.html
programma-vstupitelnogo-ekzamena-po-specialnosti-05-13-06-avtomatizaciya-i-upravlenie-tehnologicheskimi-processami-i-proizvodstvami-po-tehnicheskim-naukam.html
programma-vstupitelnogo-ekzamena-po-specialnosti-05-23-05-stroitelnie-materiali-i-izdeliya-odobreno-na-zasedanii-kafedri-pgs-pr-8-ot-17-06-04-uchenij-sekretar-kafedri-pgs-n-s-majorova.html
programma-vstupitelnogo-ekzamena-po-specialnosti-08-00-05-ekonomika-i-upravlenie-narodnim-hozyajstvom.html
  • studies.bystrickaya.ru/guslickij-spaso-preobrazhenskij-monastir.html
  • literature.bystrickaya.ru/dolzhnostnoj-reglament-vedushego-specialista-eksperta.html
  • notebook.bystrickaya.ru/k-1945-g-vremeni-prekrasheniya-serijnogo-proizvodstva-bilo-postroeno-6784-db-3il-4-iz-nih-okolo-5300-sostavlyali-il-za-vremya-serijnogo-proizvodstva-zatra-stranica-27.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/r-29-9-shk-chehiya-avstriya-slovakiya.html
  • occupation.bystrickaya.ru/novosti-proekta-zhivoj-teatr-str-1-stranica-4.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/v-tajmirskoj-centralnoj-rajonnoj-bolnice-posle-remonta-otkrilos-detskoe-infekcionnoe-otdelenie.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/pushkin-i-lermontov.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-3-sut-kompensacii-saharnogo-diabeta-1-go-tipa-insulinoterapiya.html
  • crib.bystrickaya.ru/katalog-publikacij-v-ekimovskogo-shulgin-d-i-shevchenko-t-v-shulgin-d-i-shevchenko-t-v-tvorchestvo-zhizn.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/diplom-o-professionalnoj-perepodgotovke-stranica-2.html
  • reading.bystrickaya.ru/materiali-russkoj-istorii-elektronnie-versii-uchebno-metodicheskij-kompleks-federalnoe-agentstvo-svyazi-gosudarstvennoe.html
  • tasks.bystrickaya.ru/3-blizkie-standarti-referat-na-temu-mezhdunarodnie-standarti-audita.html
  • essay.bystrickaya.ru/chem-zapravlyaem-tem-i-dishim-komsomolskaya-pravda-podgotovil-mihail-gorshkov-15072008-102-str-9.html
  • studies.bystrickaya.ru/analiz-hozyajstvennoj-deyatelnosti-na-primere-ooo-chast-10.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/prezentaciya-nacionalno-kulturnih-obedinenij-g-tomska-i-tomskoj-oblasti.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/nalogi.html
  • holiday.bystrickaya.ru/ntv-voskresnij-vecher-s-vladimirom-solovevim-29042007-solovev-vladimir-2200.html
  • college.bystrickaya.ru/-4-ekzorcizm-predislovie.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/razrabotka-kompleksnoj-marshrutnoj-seti-g-ufi-v-ramkah-korrektirovki-generalnogo-plana.html
  • education.bystrickaya.ru/10formi-i-metodi-kontrolya-usvoeniya-materiala-v-sootvetstvii-s-celyami-i-zadachami-uchebnoj-disciplini.html
  • predmet.bystrickaya.ru/sochetanie-produktov-e-v-vasilev-sposob-zhizni-v-eru-vodoleya-teoriya-i-praktika-samopoznaniya-i-samoozdorovleniya-moskva.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/b-rasataeva-m-b-bajbosinova-orta-mektep-pen-pedagogikali-zhoari-ou-orindarindai-geometriya-kurstarini-mazmn-sabatasti-mseleler.html
  • desk.bystrickaya.ru/osnovnoe-soderzhanie-raboti-koncepciya-razvitiya-kommunikativnogo-potenciala-budushih-pedagogov-doshkolnih-obrazovatelnih.html
  • books.bystrickaya.ru/celi-i-napravleniya-vnedreniya-sredstv-informatizacii-i-kommunikacii-v-obrazovanie.html
  • tasks.bystrickaya.ru/4-klass-4-ch-v-nedelyu-vsego-136-ch-obrazovatelnaya-programma-nachalnogo-obshego-obrazovaniya-na-2011-2015-goda.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/strahovanie-avtotransportnih-sredstv.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/tezisi-doklada-5-str.html
  • grade.bystrickaya.ru/nauchnaya-zhizn-soderzhanie-1-44-200-9-voprosi-teorii.html
  • occupation.bystrickaya.ru/o-provedenii-cikla-lekcij-dlya-vrachej-otorinolaringologov-lechebno-profilakticheskih-uchrezhdenij.html
  • crib.bystrickaya.ru/kniga-georgiya-boreeva.html
  • uchit.bystrickaya.ru/svyashennoe-prostranstvo-kniga-tenej.html
  • predmet.bystrickaya.ru/rossiya-postroit-aes-vo-vetname.html
  • college.bystrickaya.ru/-52-logicheskaya-struktura-novikov-a-m-n73-metodologiya-obrazovaniya-izdanie-vtoroe.html
  • school.bystrickaya.ru/keeping-abortion-legal-essay-research-paper-keeping-2.html
  • apprentice.bystrickaya.ru/vologodskaya-oblast-resursi-i-promishlennost.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.